福州市郑广成名师工作室

数形结合在小学数学教学中的应用——领衔名师郑广成

数形结合在小学数学教学中的应用

福建福州教育学院附属第三小学   郑广成


摘要:数形结合的思想是小学数学学习中一种重要的思想方法和理解数学、学好数学的有效手段。数形结合的两个要点是“以形示数”和“由形到数”,通过这两个要点达到数形结合的目的,为小学生的解决数学问题、形成数学意识、发展数学思维而服务,从而产生长期稳固的作用于学生的数学学习生涯,使抽象的问题具体化、复杂的问题简单化,从而达到提高学生数学素养和高效数学学习的目的。

关键词:小学数学;数形结合;以形示数;由形到数


1、前言

小学是一个人认知世界的第一个正式、法定的阶段,也是开始系统学习数学阶段。在2001年颁布的《义务教育数学课程标准(实验稿)》中,提出“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”[1]2011年出台的《义务教育数学课程标准》在总目标中提出“通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”[2]但由于小学生的思维深度存在一定的局限性,因此,利用“数”与“形”的优势互补,使学生改变关注问题的表述和形式转向问题的内在含义,从而实现了抽象与形象思维的有机结合。

数形结合的两个要点是“以形示数”和“由形到数”。“以形示数”是用简单的图形表示数字问题,“由形到数”是推广问题,使用纯数学表达。[3]数形结合思想具有的教育价值:一是促进了小学生对于数学知识的学习,二是发展小学生解决实际数学问题的能力,三是促进了学生观察能力、直觉思维、形象思维、创造性思维等多种能力的提升。[4]

2、数形结合教学的理论依据

数学来源于生活同时应用于生活,因此数学学习的目的是为了解决生活中的实际问题。如果让小学生只进行单纯“数学”知识的学习而完全脱离实际,既背离了数学学习的初衷,也会让数学学习变得晦涩、枯燥甚至是乏味。[5]同样只是利用“图形”的方法去解决数学问题,而没有用理论去抽象和拔高相应的理论,也无法使学生完全掌握相应的知识,更无法在实际生活中对数学的应用做到顺手拈来。

故数学教学必需要做到两个层次——“以形示数”和“由形到数”。[6]第一个层次是“以形示数”,用“形”来助力解决“数”,借助形,认识数、运算数、整理数。发现数的规律,理清数量关系,解决数的问题,使得理论知识做到有的放矢,做到数学应用到生活的具体方面。第二个层次是“由形到数”,运用数学符号和数学语言,使得相应的应用扩宽。从而认识和测量图形,进而生动描述图形的位置和运动过程,促进空间观念形成,使得具体问题在理论上的推广,服务于更多方面,激发学生的学习乐趣与激情。[7]

3、数形结合的几个例子

3.1 两位数乘法问题

三年级人教版对两位数乘两位数的标准数学解法是列竖式计算法。例如23乘以26,国内教学的解法通常是运用列竖式计算,可以算出结果是598。(具体运算如图1.1)。而国外有一种解法是通过画线法,分别画出2,3,2,6的四组线,分别表示2、3和2、6,然后将它们的交叉点分为三个部分,分别代表个位、十位、百位,清点各部分交点的数目后进行累加,便能得到最后的答案为598。(具体运算如图1.2)


    


       

国外的这种乘法解法相较于国内的列竖式计算解法而言有两个优点:一是学生不需要背诵九九乘法表;二是仅需要了解多位数加法的运算。可以发现,运用画线法,只需要掌握简单的基本知识,小学生就能够轻松地解出23乘以26这类较为复杂的计算题。

3.2 奇数数列求和问题

举一个奇数数列相加求和的例子,例如计算1+3+5+7+9+11+13,这个数列的和。面对该类问题时,由于小学生尚未涉及到数列的相关知识,教师在教学时可以通过数形结合的方式来提点,即以小球表示数字,再将小球依数列规律摆放成正方形,最后利用正方形的面积等于边长的平方这一定理,巧妙地将计算题转变为图形,求出该数列的和。(如图1.3)


3.3集合问题

人教版小学数学三年级上册中有关于集合的例题:已知参加跳绳比赛的同学有杨明、陈东、刘红、李芳、王爱华、马超、丁旭、赵军、徐强,参加踢毽比赛的同学有刘红、于丽、周晓、杨明、朱小东、李芳、陶伟、卢强,请问参加这两项比赛的共有多少人?解决该问题时,小学生容易被复杂的信息量所困扰,解题时往往会直接累加来得到结果。因此可以通过绘制韦恩图的方式,清楚地观察出重复的学生数,使学生能够直观地理解重叠部分的意义并得知计算时要减去重复的学生的个数,进而得出参加两项比赛的总人数。(如图1.4)


陈东、王爱华、马超、

丁旭、赵军、徐强

图1.4


3.4植树问题

植树问题对小学生而言是十分抽象的,“两端都栽”、“只栽一端”、“两端都不栽”这几种植树的方式常常让小学生晕头转向,分不清要用哪个计算公式,导致结果的错误。而通过直观的“画线段图”的方式可以让学生直观地明晰题意。例如:同学们要在全长20米的小路一边植树,每隔5米栽一棵(只栽一端),一共要栽多少棵树?可引导学生通过画线段图的方式作答,画一段来代表20米的线段,再等比例地在原线段上标出代表5米的线段,便能直观地得出答案,即可得到要栽树的数目。(如图1.5)


    


5米
5米
5米
5米




图1.5





4.“以形示数”的意义

对于小学生而言,单纯讲数学理论太过于抽象晦涩,难以理解;且如果数学里只有无穷的公式和算理算法,那么就太过于枯燥。通过“以形示数”的方式,可以让学生通过观察图形、触摸图形、绘制图形等活动,有效地参与到数学课堂中,全身心地进行愉悦的数学学习,进而充分激发起学生学习数学的兴趣,产生学习热情。[8]此外,“以形示数”的方式将抽象的数学知识直接形象地展示在学生的眼前,将复杂问题简单化,能够有效地引导学生理解掌握知识,避免了繁琐的记诵过程。在数与形的转化过程中,也能起到培养锻炼学生的抽象思维能力和逻辑思维能力的重要作用,为学生以后的数学学习生活打下坚实的基础。

5.“由形到数”的推广

如果仅仅使用图形来解决数学问题是快乐的,但也是繁琐的。例如:画线法计算乘法结果,需要耗费很多时间画线与清点交叉点。图形法解奇数数列求和问题需要画足够多的圆圈来求解得到结果。同时随着问题中的人数、物体的数目等信息量逐渐增多,通过具体的图形来解决问题也变得越来越复杂,显得浪费时间,并不符合解决数学题目的实际需求。这时候教师就需要将教学的精力集中于“由形到数”的转换。那么如何完成“由形到数”的推广呢?

首先,让学生明确图形方法的局限,知形不足。要让学生明白总是依赖图形解决问题并不适用于所有情况,了解使用数学中的公式、定理解决数学问题的必要性。“以形示数”一般来说有几个不足:一是解题需要绘制大量图形,浪费了大量的时间、精力;二是解题的正确性也依赖于学生的绘图能力,如果绘图过程中出现偏差,很可能得不到正确的答案;三是即使画出正确的图形,计数的过程也是繁琐的。如画线法计算乘法结果,如果交点过多,学生在计算的过程中很容易产生混乱。这些不足也从反映出“由形到数”的必要性。但对于孩子们来说,可能它们很难理解其中的不足,因此在教学中首先要强调绘图法的局限性,通过实例让学生切身体会到绘图法的缺陷,从而激发学生进行“由形到数”学习过程的心理。例如《植树问题》这一课时,若要在全长为100米的小路边植树,通过画部分线段图的方法,让学生明白此方法会十分浪费时间,操作起来过于繁琐。借此引出“复杂问题简单化,探索规律”的解决问题的方法,推动学生“由形到数”。

其次,引导学生仔细观察具体的图形,由形悟数。小学生的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段,直观的“形”对于他们而言是充满乐趣的而且是可以理解的。通过认真观察具体的图形,他们可以慢慢从中发现规律、总结规律,从而完成“由形到数”的推广。例如在《集合问题》中,通过观察韦恩图,学生能够明白“重复”的意思,摸索出在解决此类问题的时候需要将重复的数量排除的数学规律。在《植树问题》中,通过观察线段图,学生能够明白在不同的情况下都需要先记算出间隔数,然后在此基础上根据实际的情况进行加减1,进而得到所需要的树苗数。除此之外,复杂的行程问题、鸡兔同笼问题等都可以通过观察具体的“形”,悟出“数”的规律。

总结

综上,数形结合思想作为一种重要的思想方法将贯穿于整个小学数学学习过程中。巧妙地将“数”与“形”结合起来,通过“由形示数”和“由形到数”两个环节,让直观的图形与奥妙的数学和谐相融,帮助学生建立数学的概念,理解相关的理论,培养学生学习数学的思维,使得学生能够更加高效、顺利地进行数学学习,奠定持续学习数学的基础。


参考文献:

1.教育部.《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》.北京:北京师范大学出版社.2001.07

2.教育部.《义务教育数学课程标准(2011年版)》.北京:北京师范大学出版社.2012.01

3.汪渭芳. "数形结合"天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用[J]. 小学教学参考, 2010(17):30-31.

4.邹贵德. 浅议小学数学教学中“数形结合”思想的运用[J]. 读与写(教育教学刊), 2015, v.12(12):74.

5.林智. 数形结合思想在小学数学教学中的应用[J]. 教学与管理, 2017(29):49-52.

6.陈蕾. 让小学生感受“数形结合”的教学策略[J]. 上海教育科研(2期):83-87.

7.林青. 重构教学站位彰显数与形的教学价值[J]. 教学与管理, 2019(20).

8.佘文莉. 新旧教材分析对比,理解“数形结合”数学思想——谈小学数学新版教材“数形结合”思想的渗透[J]. 新课程(上), 2015(1):23-23.


(本文为福州市电化教育馆2018年度福州市教育信息技术研究立项课题《智慧教室环境下小学数学合作学习有效策略构建研究》课题研究成果,课题编号:FZDJ2018A25。)